[Fowles 고전역학] 3장 뉴턴 역학 : 오실레이션 Part1

소개에 앞서

 

3장의 주제는 오실레이션입니다. 주기 운동, 진동에 대해 다룹니다. 세상엔 아주 많은 반복 주기 운동이 있습니다. 제가 학부 수업을 들을 때 교수님이 말씀하시길 1학기 역학에서 가장 중요한 파트 하나만 고른다면 그 부분은 단연 3장 오실레이션이라고 하셨습니다.

 

 

선형 복원력 : 조화 운동

 

조화 운동의 가장 단순한 모델은 교재에 나오는 스프링의 예시입니다. 질량은 항상 평형점(이퀼리브리엄)에 위치하려고 합니다. 질량이 이퀼리브리엄에 있다면 그 말은 물체의 퍼텐셜에너지가 가장 낮은 상태이며, 질량에 가해지는 합력이 0이라고 할 수 있다. 물체가 만약 이퀼리브리엄에서 멀어진다면 자연스레 이퀼리브리엄으로 돌아가려는 성질을 갖는다. 

이때 이퀼리브리엄으로 돌아가기 위해 질량에 힘이 가해지고 그 힘이 복원력이다. 즉, 복원력은 질량의 이퀼리브리엄 상태를 유지하려는 힘이다.

 

복원력을 계산하는 방법에 대해 이해해야 한다. 어떤 역학적 현상의 복원력은 시스템의 퍼텐셜 에너지를 구함으로서 유추할 수 있다. 한편, 교재에서는 모스퍼텐셜을 예로 든다. 모스퍼텐셜을 왜 예로 들까 생각해보면 재미있다. 모스퍼텐셜은 두 원자간의 퍼텐셜을 나타낸 것이다. 복원력은 질량을 가진 물질 사이에 중력 작용하기에 존재한다. 그렇기 때문에 원자 단위 스케일에서부터 복원력의 개념을 생각해본다는 것은 참 재미있고 역학을 생각하는 시각도 넓어진다. 물론, 상대론이 등장하며 모든게 바뀌었지만 아무튼 재미있다. 

수식 (3.2.1)가 모스 퍼텐셜이다. 해당 수식 그대로 미분을 해서 복원력을 계산하는 것이 실제로 옳은 것이다. 하지만, 계산이 복잡하며 그러므로 근사의 방법을 택한다. 교재 (3.2.2a) ~ (3.2.2c)가 그 과정이다. 해당 과정을 통해 퍼텐셜을 2차방정식의 형태로 근사할 수 있게 되며 그에 따라서 복원력도 구할 수 있게 된다.  (3.2.3) 수식의 훅의 법칙도 2차원방정식의 형태로 표현된다. 짚고 넘어가야 할 점은 퍼텐셜의 형태는 매우 다양하단 점이다. 2차원 꼴이 아닌 경우가 훨씬 많다. 중요한건 퍼텐셜에너지를 알아야 복원력을 구할 수 있다는 점이다. 

그렇다. 이번 챕터는 오실레이션이 주재이다. 수식 (3.2.3)의 미분방정식의 해를 구해보자. 해는 (3.2.5)와 같게 된다. 놀랍게도 사인파 형태로 시간에 따라서 위치가 주기적인 운동을 한다. 이는 당연하게도 비본존력이 작용하지 않는 가정하에 스프링을 잡아당겨 놓으면 무한 반복 왕복운동을 하게 된다. 각진동수는 (3.2.6)과 같다. 즉 주기, 진동수는 k와 m값에 의해 결정된다. k는 스프링 상수이며 m은 질량이다. 이 두 값은 어떤 스프링에 대해서도 동일하다. (3.2.11)까지의 내용은 한번 짚고 넘어가자. 중요한건 앞서 설명했다.

초기 조건의 개념은 항상 중요하다. 초기 조건은 운동이 시작할때의 조건인데, 스프링 운동의 경우 A와 파이 두개의 초기 조건을 갖는다. k와 m과 달리 A와 파이 두 개의 값은 동일한 스프링일지라도 달라질 수 있는 것이다. 각 상수들의 성질이 다른 것이다. 회전하는 예시도 등장하는데 그 개념은 같다. 한번 읽어보도록 하자.

외부에서 외력이 지속적으로 가해지는 경우는 너무나 간단하게도 외력과 복원력의 합력의 미분방정식의 해를 구해본다. 그 이후의 과정과 이해는 같다. 

 

조화 운동에서의 에너지 보존

 

훅의 법칙을 따르는 스프링에 가해지는 보존력이 하는 일은 스프링의 퍼텐셜 에너지의 크기와 같다. 그리고 조화 운동에서의 총 에너지는 운동에너지와 퍼텐셜 에너지의 합과 같다. (3.3.3)

 

 

감쇠 조화 운동

 

앞선 파트에서 다룬 내용은 전부 이상적인 경우이다. 저항이 없는 완벽히 보존력이 작용한다. 한편, 현실세계는 그렇지 않다. 저항이 존재하는 것이 현실세계다. 지금부터 저항을 고려한 조화 운동에 대해 알아보도록 한다. 스프링의 감쇠 조화 운동에 작용하는 힘의 합력은 (3.4.1)로 정리된다. 새로운 항이 존재하는데 해당 항은 2장에 나오는 저항에 해당한다. 식을 정리하면 (3.4.3)에 damping factor을 구하게 된다. 우리가 이전에 구한 각진동수까지 치환하여 식은 (3.4.3)으로 정리된다. 다음 (3.4.5a)~(3.4.5b)는 이계미분방정식의 해를 구하는 과정이다. 해당 미분방정식의 해를 구하게 된다. (3.4.6) 우리가 구한 식에는 (3.4.7)과 같은 결과를 얻게 되고 해당 값에 따라서 저항의 성질이 달라진다. 

q값이 양수라면 과감쇠(overdamping), 0이라면 임계감쇠(critical damping), 허수라면 저감쇠(underdamping)에 해당한다. 해당 감쇠들에 해당하는 진동들은 그림으로 알아보아야 직관적으로 느낌이 오게 된다. 과감쇠는 천천히 이퀼리브리엄에 돌아오게 된다. 강한 저항에 의해 진동을 하지 않도록 한다. 임계감쇠는 감소하는 지수함수적인 형태이다. 진동을 효과적으로 빠르게 감쇠한다고 보면 된다. 저감쇠의 경우, 진동을 하게 되는데 진동이 서서히 줄어든다. 사실 이 파트에 대해서는 자세한 수식적 과정과 이해를 거쳐야 한다. 하지만, 아쉽게도 수식을 적어넣기가 많이 귀찮고 시간도 많이 걸린다. 

결과적으로 감쇠가 존재한다면 조화 운동은 반드시 이퀼리브리엄으로 돌아가게 된다. 감쇠의 정도에 따라서 이퀼리브리엄으로 돌아가는 양상이 진동을 할 수 도 있는 반면 진동하지 않을 수도 있다.

 

[삭제 예정 문장]

이후 챕터는 감쇠를 고려한 에너지 보존과 q인자에 관한 것이다. 그리고 위상공간에서 고려한 사항. 외력이 가해진 조화 운동. 등.