전미분에 대한 이해
전미분은 영어로 total differentials라고 부른다.
흔히 고등학교부터 배운 익숙한 미분을 생각해볼 때, 전미분은 특별히 다른 것이 아니다.
미분의 기억을 더듬어보면 먼저 변화로부터 시작된다. dy라는 값을 생각해보면 dy는 두 종속변수 y값에 대한 변화값이다.
이것을 dx라는 독립변수의 변화값으로 나누어 준다면, 이것이 변화율이 되는 것이다.
이 변화율은 평균변화율, 순간변화율로 나뉘어지고, 독립변수의 변화값인 dx의 차이를 아주 미소 수준으로 줄였을때 그것이 우리가 아는 미분 즉 순간변화율이 되는 것이다.
우리가 그동안 배운 미분의 개념은 독립변수 하나 그리고 이에 대응되는 종속변수 하나로 이루어진 함수에서 시작했다.
전미분의 관점은 독립변수 하나 이상을 포괄한다. 즉, 우리가 배운 미분의 개념도 포괄한다.
교재 (3.6) 공식이 두개의 독립변수를 가진 전미분이다.
근데, 전미분이 무엇인지 설명을 아직 하지 않았다.
전미분 용어가 낯설어 그렇지 실제로는 '전체 차이', '전체 변화값'이 더 적절할 것이다.
z를 종속변수일 때 dz는 미소 변화의 정도가 된다.
두 구간의 모든 독립변수를 때려박았을 때, 종속변수 z의 차이값이 dz인 것이다.
전미분이 우리가 아는 미분인 이유
식 (3.6)을 살펴보면, 양변을 dx로 나누어주면 우리가 아는 하나의 독립변수 하나의 종속변수의 변화율이 된다.
dz/dx의 결과인데, dy/dx는 서로 관계가 없는 독립변수이므로 0의 값으로 남는건 첫번째 항 뿐이다.
식(3.6)는 두 개의 독립변수의 경우로, 실제는 식(3.12)에서와 같다.
아주 많은 독립변수를 갖는 식에 대한 전미분이다.
어떤 많은 변수를 갖는 함수 값 사이의 차이를 구할 때 전미분의 식은 유용하다.
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