[Fowles 고전역학] 1장 기본 관념 : 벡터

 

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관념이란

 

과학에서 관념이 무엇일까?

 

Fowles 고전역학 1장의 제목은 'Fundamental Concepts'이다.

 

concept의 뜻은 쉽게 생각하면 '개념', 어렵게 생각해 보면 '관념'이 된다.

 

관념은 개념을 포괄하는 상위 용어이다.

 

우리는 철학에 대해 공부할 것이 아니기에 자세한 철학적 접근은 지양하겠다.

 

다만, 무엇이 1장의 목적인지 알고 접근하면 보다 명료하게 내용을 이해할 수 있다.

 

과학에서 관념(concept)은 일반적으로 어떤 개념, 아이디어, 또는 이론적인 개념을 나타냅니다. 이는 특정한 개체나 사물이 아니라, 대신에 추상적인 생각이나 이해의 형태를 나타내는 것입니다. 관념은 보통 어떤 주제나 분야에서의 중요한 개념을 나타내는 데 사용되며, 이해와 분석을 위해 사용됩니다.

과학에서, 관념은 특히 이론을 구축하고 실험을 설계하며 자연 현상을 이해하는 데 중요한 역할을 합니다. 과학자들은 관념을 사용하여 현상을 설명하고 예측하며, 이를 통해 실제 세계를 이해하고 해석할 수 있습니다. 관념은 종종 수학적 모델이나 그래픽 표현을 통해 시각화되거나 형식화될 수 있습니다. 이는 과학의 발전과 연구에 필수적인 요소 중 하나입니다.

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물리와 수학

 

버트런드 러셀은 'The scientific outlook'에서 과학이 가지는 한계에 대해 소개한다. 과학은 현상을 보다 엄밀하게 정의하기 위해 수학을 도입할 수 밖에 없고, 인간의 지각으로 쉽게 납득하기 어려운 현상들은 모두 수학으로 정의된다. 러셀은 언어로 어떤 물리 현상을 기술하는 것은 현상을 추상화하는 것이라고 하였다. 어떤 현상의 정의는 분명해야 하는데 언어의 이런 한계는 수학을 필요하도록 만든다. 과학이 가지는 한계는 수학적 엄밀함이 일반대중들이 납득하기 어렵도록 한다는 점이다.

우리가 여러 물리학 전공책을 시작하기 앞서 다양한 수학적 기법을 배우는 이유는 현상을 분명히 정의하기 위함이다. 언어로 정의하는 것은 대단히 추상적이고 명확하지 않다. 당장 고전역학과 전자기학 수준에서는 언어로 현상이 설명될 순 있어도 양자역학의 단계로 진입하면 결국 언어로 설명할 수 없다. 이러한 이유가 우리가 수학을 제대로 이해해야 하며, 그러한 물리 개념을 이해하는 데 있어 빠질 수 없는 것은 '벡터'이다.

 

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시간과 공간의 측정

 

고전역학의 가장 기본 전제는 모든 고전 역학적 현상은 절대 시간과 절대 공간에서 이루어진다는 것이다. 절대 시간(time)이란 어떤 영향도 받지 않으며 일정하게 흐르며, 걸린 시간(duration)이라고도 한다. 절대 공간은 항상 일정하게 유지 되며 변하지 않는다. 

공간은 3차원 유클리드 공간이며 카테시안 좌표계로 나타낸다. 길이는 해당 점 사이의 간격인데 이를 나타내기 위해서 벡터가 사용된다. 엄밀히 정의되기 위해서는 어떤 기준이 되는 길이가 있어야 한다. 그 기준 길이에 대한 상대 길이가 간격이라고 할 수 있다. 

시간의 측정은 어떤 반복되는 현상을 활용한다. 가량들어 어떤 주기적인 진자 운동이 있다면 그 주기가 시간의 기준이 될 수 있다. 지구의 자전, 공전이 어떤 시간의 기준이 되는 것이다. 

뉴턴의 절대 시간과 절대 공간은 변하지 않는 것이지만, 표준이라는 것은 변한다. 표준(standard)는 시대, 권력에 따라 변화하였다. 표준에 대한 정보는 '시간의 표준', '길이의 표준', '질량의 표준'에 대해 찾아보면 많이 나온다. 1m, 1s, 1g의 SI unit의 정의는 최근까지도 바뀌어 왔다. 

고전역학적 현상을 표현하는데 시간, 공간, 질량의 차원만 있으면 된다. 여기서 차원은 3차원의 공간을 의미하는 것이 아니다. 시간, 공간, 질량의 차원 조합으로 모든 고전역학에 등장하는 운동을 설명할 수 있다. 한편, 속도나 가속도처럼 차원이 있는 경우가 있는 반면 차원이 없는(dimensionless) 경우도 있다. 납득하기 어려울 수 있는데 사실 우리는 모든 정의, 수식 그리고 공식에서 무차원 값을 쓰고 있다. 이것은 바로 숫자 1이다. 숫자 1은 차원이 없다. 1이기에 영향도 없다. 한편, 1이 아닌 다른 값이라면 결과에 영향을 미칠 것이다. 흔히, 라디안으로 표기된 각도가 차원이 없는 경우다. 

 

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벡터

 

역학적 현상은 스칼라량와 벡터량으로 표현된다. 고등 수학을 배웠다면 스칼라와 벡터의 차이를 알 것이다. 스칼라는 크기만 갖는 물리량, 벡터는 크기와 방향을 모두 갖는 물리량이다. 대표적인 스칼라는 질량 그리고 온도, 대표적인 벡터는 속도 그리고 가속도가 있다. 

벡터를 자세하기 위해서 성분벡터, 단위벡터, 벡터의 합, 벡터의 차, 스칼라와 벡터의 곱, 교환법칙과 결합법칙, 벡터의 크기, 벡터의 내적, 벡터의 외적 그리고 벡터의 미분 등 정의를 제대로 이해하고 연습문제를 풀어봐야 한다. 

내적 (성분을 이용한 정의)

내적 (기하학적 정의)

외적 (행렬로의 정의)

외적 (기하학적 정의)

 

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좌표 변환

 

앞선 벡터의 연산에 대해 배웠다면, 좌표계의 변환에 대해 이해해야 한다. 

 

https://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix

Rotation matrix - Wikipedia

 

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위치벡터와 속도, 가속도

 

물체의 위치는 주어진 관성계에서 원점으로 부터의 단일 벡터 하나로 정의될 수 있다. 이를 위치 벡터라고 한다. 한 위치에서 다른 위치로 이동한 물체가 있을 때 그때의 이동을 시간에 대한 비율로 나타낼 수 있다. 이것이 흔히 평균속도 개념이다. 순간속도의 개념이 특정 점 위치에서의 속도이다. 이는 위치 벡터를 시간에 대해 미분함으로서 정의된다. 즉, 시간에 대한 위치 변화량이 속도이다. 가속도는 시간에 대한 속도의 변화량으로 정의된다. 

카테시안 좌표계가 아닌 극좌표계, 원통 좌표계, 구 좌표계 등 다양한 좌표계에서 속도와 가속도를 이해해보고 연습문제를 풀어보자. 

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1장을 마치며

 

오늘부터 고전역학을 다시 복습하고 동시에 블로그를 쓰게됐다.

 

한 가지 짚고 넘어가자면, 물리학을 공부하는데 있어 수학이 매우 중요한 도구이다. 러셀의 말처럼 인간의 언어엔 한계가 있다. 마음같아선 블로그도 여러 수식을 활용해 설명하고 싶다. 하지만, 아타깝게도 시간은 한정되어 있다. 이 블로그는 강의자료가 아니기에 열심히 수식을 적을 시간이 없다. 내 머리로는 수식이 다 이해되어 넘어가는 것들이지만, 초보자라면 한번쯤 깊히 이해하고 넘어가야 한다. 앞으로의 전개도 이번 포스팅과 유사할 예정이다. 언어를 지양해야 하지만, 어쩔 수 없이 언어를 쓸 수 밖에 없다. 기회가 된다면 종이 수식을 쓴 것을 스캔해 포스팅하고 싶다.