[Fowles 고전역학] 2장 뉴턴 역학 : 입자의 선형 운동

뉴턴의 운동 법칙

 

뉴턴의 프린키피아에는 다음과 같다.

 

1. 외부 힘이 가해지기 전까지 물체는 원래의 상태를 유지하고자 한다. 멈춰있다면 멈춘상태로, 일정학 속도라면 그 속도대로. => 관성의 법칙

 

2. 운동의 변화는 가해지는 힘에 비례하고, 변화의 방향은 힘의 방향과 동일 선상이다. => 가속도의 법칙

 

3. 어떤 작용에 대해서는 그와 같은 작용이 있어야 한다. 두 물체가 상호작용을 하면 항상 같고 반대되는 상호작용이 일어난다. => 작용반작용의 법칙

 

관성은 모든 물질이 갖는 성질로 변화에 대한 저항이다. 

 

관성계는 머리로는 얼추 이해가 됐다 생각되지만, 글로 설명을 하자니 어렵다. 추후 공부가 성숙해진 후 기술하도록 하고 비워두겠다. 관성계의 철학적 역사적 변천과 의미.

 

 

질량과 시간에 대한 힘 : 뉴턴 2법칙과 3법칙

 

관성을 측정가능한 양으로 나타낸 것이 '질량'이다. 즉, 질량은 관성의 정도를 나타내는 척도인 것이다.

 

두 물체의 질량의 비율은 두 물체의 속도의 비율의 반비례가 같다면,

 

양 변의 분모를 각각 곱해주어 두 물체의 선형 운동량이 같다는 사실을 알 수 있다. (2.1.3)

 

힘이란 시간 변화량에 대한 운동량의 변화량으로 정의된다. 

 

즉, 힘이란 미소 시간에 대한 운동량의 변화량이다.

 

한편, 고전역학에서는 질량은 변하지 않으므로 운동량에서의 변수는 오직 속도이다.

 

즉, 힘은 미소 시간에 대한 속도의 변화량으로 표현될 수도 있다.

 

미소 시간에 대한 속도의 변화량은 가속도이므로, 힘과 가속도가 서로 비례한다.

 

(2.1.3)에 의해 두 운동량의 합의 변화량은 0이 된다.

 

즉, 두 운동량의 합은 상수인데 이 것이 운동량 보존의 법칙을 의미한다.

 

가속도가 상수일 때를 가정하고 dv/dt의 식을 풀어서 양변을 적분해보자. 

 

그러면 입자의 시간에 대한 운동(이동거리, 속도, 가속도)을 알 수 있다.

 

시간과 무관한 위치에 따른 힘 : 운동에너지와 퍼텐셜에너지

 

운동을 시간에 대한 식으로 나타내기 보다, 위치에 대한 식으로 나타낼때 편한 경우가 있다. 그 예는 전기력, 중력 등 많다. 

 

정확한 수학 용어가 생각나지 않지만, F=ma의 식에서 가속도에 해당하는 a를 변형시키는 과정이다. v*dv/dx로 나타낼 수 있다. (2.3.2)

 

(2.3.2)를 이용하면 힘과 운동에너지 사이의 관계식으로 만들 수 있다. (2.3.3)

 

 미소 위치 변화에 대한 운동에너지의 변화량이 힘의 크기이다.

 

한편 dx와 dT에 대해 양변을 적분하면 힘이 물체에 한 일을 구할 수 있다.

 

이 과정은 일은 운동에너지의 변화량과 같다는 식으로 이어진다.

 

퍼텐셜에너지를 정의할 수 있는데, 퍼텐셜에너지를 거리에 대해 미분한 것이 힘과 같다. (2.3.6)

 

이 때, 퍼텐셜에너지와 운동에너지의 부호에 유의해야 한다.

 

서로의 관계를 식 (2.3.3)와 (2.3.5)을 통해 알 수 있는데, 동일한 위치에서의 운동에너지와 퍼텐셜에너지의 합은 항상 일정한 것을 알 수 있다.

 

이것이 총 에너지이고 이를 에너지 방정식이라고 부른다. (2.3.8) 어떤 물체를 A지점에서 B지점으로 옮기는데 드는 힘이 경로에는 무관하고 오직 위치에 따라서만 달라지는 힘을 보존력이라고 한다. 

 

에너지 방정식을 변형하면 물체의 속도와 시간에 대한 정보도 얻을 수 있다. (2.3.9), (2.3.10)

 

책에는 '자유낙하', '종단속도', '모스함수'와 같은 다양한 보존력에 대한 예시가 나온다.

 

 

속도에 따라 결정되는  힘 : 유체의 저항과 종단속도

 

앞선 파트는 저항을 무시한 경우에 대한 것이다. 한편, 실제 세계에선 저항을 고려해야하며, 유체의 저항은 속도에 따라 크기가 커진다. 물체의 형태에 따라서 저항이 다라진다.

 

종단 속도는 선형, 평면형에 따라 달라진다. 자세한 계산과 유도는 공식을 하나하나 따라가면서 보아야 한다.

 

사실, 저항이란 부분은 굉장히 복잡하고 어렵다. 교재에서는 구 형태 하나만 다루었지만, 실제로 다양한 형태의 물체가 있으며 그 물체가 받는 저항은 대단히 다양하다. 특히, 일부 형태는 회전을 하기도 해 그 계산은 실로 복잡하다.

 

 

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